تبلیغات
آرمان دانش - اعداد گویا و نماد علمی
اعداد گویا و نماد علمی

‌مجموعه اعداد گویا


مجموعه اعداد گویا مجموعه ای است از اعداد كه آن را بصورت كلی زیر می توان نوشت :

Q ={ X= a/b | (a,b) Z , b ≠ 0 }


مجموعه اعداد گویا عضو ابتدا و انتها ندارد.
مجموعه اعداد گویا نسبت به عمل تقسیم بسته نیست، زیرا : صفر عضوی از مجموعه اعداد گویا است ولی ( 0/ عدد ) معنی ندارد.
سعی شود همراه مخرج عدد گویا مثبت باشد.

-a/b = a/-b = -(a/b)


دو عدد گویا مساوی :
هر گاه صورت و مخرج عدد گویایی را در عددی (مخالف صفر) ضرب و یا به عددی (مخالف صفر) تقسیم كنیم عدد گویا تغییر نمی كند و عدد گویایی مساوی عدد گویای اولی بدست می آید


اعداد گویای بین دو عدد گویا :
بین دو عدد طبیعی متوالی یا دو عدد صحیح متوالی ، عدد طبیعی یا صحیح وجود ندارد. اما درمورد اعداد گویا این مطلب درست نیست. بین هر دو عدد گویای متمایز بی شمار عدد گویا وجود دارد.
مثلاً عدد 4/1 یكی از اعداد گویا بین صفر و یك است و این مطلب را به صورت 1<4/1>0 می نویسند، و یا 3/1 - یكی از اعداد گویا بین 4/1 - و 2/1 - است و بصورت

4/1- > 3/1 - > 3/2 - می نویسند.


میانگین دو عدد گویا :

یعنی میانگین دو عدد گویا متمایز بین آن دو عدد قرار دارد.
هر عدد گویا نظیر a /b كه صورت و مخرج آن عامل مشترك نداشته باشند عدد گویای تحویل ناپذیر می نامند.

بقیه در ادامه مطلب



نمایش اعشاری اعداد گویا ( تحویل ناپذیر)
اعداد گویا سه نوع هستند.

نوع اول :

در مخرج كسر پس از تجزیه به عاملهای اول فقط عاملهای 2و5 وجود دارد. در این صورت اگر صورت كسر را به مخرج آن تقسیم كنیم پس از چند رقم اعشار باقیمانده تقسیم صفر می شود.
در این صورت گفته می شود عدد گویا قابل تبدیل به كسر اعشاری تحقیقی یا مختوم می باشد.

نوع دوم:

در مخرج کسر پس از تجزیه کردن به عامل های اول عامل های 2 و 5 وجود ندارد . در این نوع اعداد گویا چنانچه صورت را به مخرج تقسیم کنیم به باقیمانده صفر نخواهیم رسید وخارج قسمت حقیقی بدست نمی آید ، بلکه در خارج قسمت بعد از ممیز رقم یا ارقام مرتب تکرار میشوند .این نماد را نماد اعشاری متناوب ساده می نامند .


نوع سوم :
چنانچه كسر پس از تجزیه كردن به عامل های اول عامل های 2و 5 و سایر عوامل اول وجود داشته باشد در این صورت خارج قسمت بعد از ممیز غیر از ارقام دوره گردش ارقام دیگری قبل از دوره گردش وجود دارد كه تكراری نمی شوند و باقیمانده هرگز صفر نخواهد شد. این عدد را عدد اعشاری متناوب مركب نامند.


تذكر : در حالت (1) اگر a را بر b تقسیم كنیم وعمل تقسیم را ادامه بدهیم باقیمانده صفر خواهد شد و در حالت (2) و (3) اگر a را بر b تقسیم كنیم و عمل تقسیم را ادامه بدهیم باقی مانده هیچوقت صفر نخواهد شد.


در تبدیل عدد اعشاری متناوب به كسر متعارفی :
هر عدد اعشاری متناوب را می توان به صورت یك كسر گویا (كسر متعارفی نوشت) برای اینكار به ترتیب زیر انجام می دهیم.
1) آن عدد را مساوی x قرار می دهیم (a)


2) طرفین رابطه (a) را در 10 k ضرب می كنیم. ( k تعداد ارقام غیرگردش است) (b)

3) طرفین رابطه ی ( b) را در 10 ضرب می كنیم ( p‌ تعداد ارقام گردش است) (c )
4) رابطه b‌را از c كم می كنیم و سپس x را بدست می آوریم و ساده می كنیم.


تبدیل عدد اعشاری تحقیقی به كسر گویا (كسر متعارفی)

      برای این كار كافی است كه كسر متعارفی بنویسیم كه صورت آن ارقام اعشاری بعد از ممیزمخرج آن 10 n

باشد (تعداد ارقام بعد از ممیز است)


تبدیل كسر اعشاری متناوب ساده به كسر متعارفی :
برای این كار كسری می نویسیم كه صورت آن دوره تناوب و مخرج آن تعدادی 9 به تعداد ارقام دوره تناوب باشد.


تبدیل عدد اعشاری متناوب مركب به كسر متعارفی :
برای این كار كسری كه می نویسیم كه صورت آن یك دوره تناوب و غیرتناوب منهای یك دوره غیر تناوب باشد و مخرج آن تعدادی 9 (به تعداد ارقام دوره تناوب و جلوی آن تعدادی صفر به تعداد ارقام دوره غیرتناوب باشد)

مجموعه اعداد حقیقی :
می دانیم هر عدد گویا می شود و به صورت یك عدد اعشاری (تحقیقی – متناوب) نوشته و هر عدد اعشاری یك عدد گویا است.
حال به عدد اعشاری 20200200020000/0 توجه كنید كه بعد از ممیز عددهای 2 و صفرها به طریقی تكرار شده اند ولی هیچ شناختی به عدد اعشاری متناوب ندارد. یعنی این یك عدد اعشاری متناوب نیست. پس این یك عدد غیرگویا است. این عدد را یك عدد گنگ یا (اصم) می نامند.

تعریف : هر عدد اعشاری كه حقیقی و متناوب نباشد را یك عدد اصم می گویند. مانند:

Π = 3 / 141592633589793

√2 = 1/414213
℮ = 2 / 71...

مجموعه اعداد گنگ (اصم) :
همه ی اعداد اصم مجموعه ای را تشكیل می دهند كه به آن مجموعه اعداد گنگ می نامند و با Q c نشان می دهند.


مجموعه اعداد حقیقی :
همه ی اعداد گویا و اصم مجموعه ای را تشكیل می دهند كه به آن مجموعه اعداد حقیقی می گویند و با k نشان می دهند . پس :
 

R = Q Q c


 


  نماد علمی :

به تساوی روبرو توجه كنید:
 

0/3456 = 3/456 * 10-3

0/00007 =7 * 10-5

1382 = 1/382 *103

700000 = 7 * 105

همه اعداد فوق برابر است با حاصل ضرب یك عددبین 1و10 و توان مناسبی از 10، گویند اعداد فوق به صورت نماد علمی نوشته شده است.
برای جلوگیری از اشتباه در عملیات و آسان خواندن اعداد بسیار بزرگ و اعداد بسیار كوچك از نماد علمی استفاده می كنند.
 

      یعنی اینگونه اعداد را به صورت d * 10 n می نویسند كه در آن  1≤ d , d < 10 ,  n z  

 می نویسند كه 1 این نمایش اعداد را نمایش علمی اعداد یا نماد علمی اعداد می گویند.
 

برای نوشتن یك عدد به صورت نماد علمی از قرارداد زیر استفاده می كنیم:
الف) اولین رقم غیر صفر عدد مذكور را از سمت چپ مشخص می كنیم.
ب) ممیز را در سمت راست همان عدد قرار می دهیم
ج)اگر ممیز از سمت راست به چپ حركت كند به تعداد ارقام به توان 10 اضافه می شود و اگر ممیز از چپ به راست حركت كند به تعداد ارقام از توان 10 كم می شود.
 

678910/ = 6/78910 * 10 5

0/000623 = 6/23 * 10-4